مرکز جرم و ممان اینرسی سهمی گون

• مسئله

یک سهمی گون با ابعاد و اندازه ای که در شکل نشان داده شده و چگالی p مفروض است.مرکز جرم در راستای محور z و ممان اینرسی حول محور D را بیابید. محور D موازی با محور z است و به اندازه r از آن فاصله دارد.

*سهمی گون حاصل دوران یک سهمی دو بعدی حول محور آن (z)است.(مطابق شکل)

• جواب

برای چنین سوالاتی که جرم و حجم آن برای ما مجهول است ابتدا باید حجم آن را محاسبه کنیم. برای این محاسبات یک المان مثل یک دیسک با ضخامتی بسیار کم را از پاببن تا بالا حرکت می دهیم تا در نهایت نقطه ای جا نماند و حجم همه نقاط محاسبه شود.

برای این کار بعد ار بدست آوردن رابطه شعاع و ارتفاع المان حجم را همانطور که گفته شد در نظر می گیریم:

سپس برای مرکز جرم تنها محور z را محاسبه می کنیم چرا که سایر محور ها به علت تقارن مرکز جرمشان در مبدا قرار دارد. طبق رابطه مرکز جرم داریم:

و نهایتا برای پیدا کردن ممان اینرسی (گشتاور ماند)حول محور D ابتدا ممان اینرسی برای محور z را بدست می آوریم و سپس با استفاده از قضیه محور های موازی به راحتی ممان اینرسی حول محور D را می یابیم: